Đường thẳng $d, Delta $ cắt nhau tại $O$ và tạo thành góc $eta $ với $0^o cất $d, Delta . left( phường ight)$ quay quanh trục $Delta $với góc $eta $ không thay đổi $Rightarrow $ mặt nón tròn luân phiên đỉnh $O$
$Delta $ gọi là trục.$d$ được gọi là đường sinh.Góc $2eta $ gọi là góc ở đỉnh.Bạn đang xem: Công thức nón trụ cầu
1.2. Khối nón
Nội dung | Hình vẽ |
Là phần không gian được số lượng giới hạn bởi một hình nón tròn xoay tất cả hình nón đó. đầy đủ điểm không thuộc khối nón hotline là số đông điểm quanh đó của khối nón. Những điểm trực thuộc khối nón cơ mà không trực thuộc hình nón tương ứng gọi là hầu hết điểm vào của khối nón. Đỉnh, khía cạnh đáy, con đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, khía cạnh đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. |  |
Cho hình nón có độ cao $h,$ con đường sinh $l$ và bán kính đáy$r$.
Diện tích xung quanh: của hình nón:
1.3. Thiết diện khi cắt vì chưng mặt phẳng
Điều kiện | Kết quả |
Cắt mặt nón tròn chuyển phiên bởi mp $left( Q ight)$ đi qua đỉnh của khía cạnh nón. | |
| $mpleft( Q ight)$ cắt mặt nón theo 2 đường sinh.$mpleft( Q ight)$ tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. | Thiết diện là tam giác cân.$left( Q ight)$ là phương diện phẳng tiếp diện của hình nón. |
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( Q )không đi qua đỉnh của khía cạnh nón. | |
| $mpleft( Q ight)$ vuông góc với trục hình nón.$mpleft( Q ight)$ tuy vậy song với 2 đường sinh hình nón.$mpleft( Q ight)$ song song với 1 đường sinh hình nón. | Giao tuyến là 1 đường parabol.Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.Giao tuyến là một đường tròn. |
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Phương diện trụ
Nội dung | Hình vẽ |
Trong phương diện phẳng $left( phường ight)$ cho hai tuyến phố thẳng $Delta $ với $l$ tuy nhiên song với nhau, cách nhau một khoảng chừng bằng $r$. Khi quay mặt phẳng $left( p ight)$ bao quanh $Delta $ thì đường thẳng $l$ sinh ra một mặt tròn luân phiên được gọi là mặt trụ tròn xoay, điện thoại tư vấn tắt là khía cạnh trụ. Đường trực tiếp $Delta $ call là trục.Đường thẳng $l$ là đường sinh.$r$ là bán kính của khía cạnh trụ đó. |  |
2.2. Hình tròn trụ tròn xoay cùng khối trụ tròn xoay
Nội dung | Hình vẽ |
Ta xét hình chữ nhật $ABCD$. Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ bao quanh đường thẳng đựng một cạnh làm sao đó, chẳng hạn cạnh AB thì con đường gấp khúc $ABCD$ sẽ khởi tạo thành một hình hotline là hình tròn tròn xoay, hay hotline tắt là hình trụ. |  |
Khối trụ tròn xoay xuất xắc khối trụ là phần không khí được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay bao gồm cả hình trụ tròn chuyển phiên đó. Phần đông điểm không thuộc khối trụ hotline là đông đảo điểm xung quanh của khối trụ. đa số điểm ở trong khối trụ tuy vậy không ở trong hình trụ tương ứng gọi là phần đa điểm vào của khối trụ. Phương diện đáy, chiều cao, đường sinh, nửa đường kính của một hình trụ cũng chính là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao $h,$ con đường sinh $l$ và bán kính đáy $r.$
Diện tích xung quanh: $S_xq=2pi rl$ Diện tích toàn phần: $S_tp=2pi rl+2pi r^2$ Thể tích: $V=pi r^2h$3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Khía cạnh cầu
Nội dung | Hình vẽ |
Cho điểm $I$ cố định và thắt chặt và một vài thực dương $R$. Tập hợp toàn bộ những điểm $M$ trong không khí cách $I$ một khoảng $R$ được điện thoại tư vấn là mặt cầu tâm $I,$ nửa đường kính $R.$ Kí hiệu: $Sleft( I;R ight)$ Khi đó: $Sleft( I;R ight)=leftIM=R ight$ |  |
3.2. Vị trí kha khá giữa mặt ước và phương diện phẳng
Cho mặt cầu $Sleft( I;R ight)$ và khía cạnh phẳng $left( p ight)$. điện thoại tư vấn $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $left( p ight)Rightarrow d=IH$ là khoảng cách từ $I$ mang lại mặt phẳng $left( p ight)$. Lúc đó:
$d>R$ | $d=R$ | $d |
Mặt ước và khía cạnh phẳng không có điểm chung. | Mặt phẳng tiếp xúc phương diện cầu: $left( phường ight)$ là khía cạnh phẳng tiếp diện của mặt cầu và $H:$ tiếp điểm. | Mặt phẳng giảm mặt cầu theo tiết diện là đường tròn tất cả tâm $I'$ và bán kính $r=sqrtR^2-IH^2$ |
 |  |  |
Lưu ý:
Khi khía cạnh phẳng $left( p. ight)$ đi qua tâm $I$ của mặt cầu thì mặt phẳng $left( p ight)$ được call là mặt phẳng kính với thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt mong và con đường thẳng
Cho mặt ước $Sleft( I;R ight)$ và mặt đường thẳng $Delta $. điện thoại tư vấn $H$ là hình chiếu của $I$ lên $Delta $. Khi đó:
$IH>R$ | $IH=R$ | $IH |
$Delta $ không giảm mặt cầu. | $Delta $ tiếp xúc với phương diện cầu. $Delta $: Tiếp tuyến của $left( S ight)$ $H:$ tiếp điểm. | $Delta $ cắt mặt mong tại hai điểm phân biệt. |
 |  |  |
Lưu ý:
Trong trường hợp $Delta $ giảm $left( S ight)$ tại 2 điểm $A,B$ thì nửa đường kính $R$ của $left( S ight)$ được tính như sau:$left{ eginarrayldleft( I;Delta ight) = IH\R = sqrt IH^2 + AH^2 = sqrt IH^2 + left( fracAB2 ight)^2endarray ight.$
3.4. Đường kinh con đường và vĩ tuyến đường của phương diện cầu
Nội dung | Hình vẽ |
Giao tuyến đường của mặt cầu với nửa mặt phẳng gồm bờ là trục của mặt ước được điện thoại tư vấn là ghê tuyến. Giao tuyến đường (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ con đường của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt ước với trục được điện thoại tư vấn là hai rất của phương diện cầu |  |
* Mặt cầu nội tiếp, nước ngoài tiếp hình đa diện:
Nội dung | Hình vẽ |
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện trường hợp mặt ước đó xúc tiếp với tất cả các mặt của hình nhiều diện. Còn nói hình nhiều diện nước ngoài tiếp phương diện cầu. |  |
Mặt mong ngoại tiếp hình nhiều diện nếu tất cả các đỉnh của hình nhiều diện rất nhiều nằm xung quanh cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp khía cạnh cầu. Mặt mong tâm $O$ bán kính $r$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ khi và chỉ khi $OA=OB=OC=OD=OS=r$ |  |
Cho mặt cầu $Sleft( I;R ight)$
Diện tích phương diện cầu: .$S=4pi R^2$ Thể tích khối cầu: $V=frac43pi R^3$4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Câu hỏi mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt vì chưng một mặt phẳng
Nội dung | Hình vẽ |
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. |  |
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là phần đông tam giác cân tất cả hai ở kề bên là hai tuyến đường sinh của hình nón. |  |
Thiết diện vuông góc cùng với trục của hình nón là gần như đường tròn gồm tâm nằm ở trục của hình nón. |  |
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến tiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy rvà mặt đường sinh l.
Một thiết diện trải qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ trọng tâm của đáy mang lại mặt phẳng cất thiết diện là d
Nội dung | Hình vẽ |
Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ khi đó: $ACot left( SMI ight)$ Góc thân $left( SAC ight)$ cùng $left( ABC ight)$ là góc $widehatSMI$. Góc giữa $left( SAC ight)$ với $SI$ là góc $widehatMSI$.$dleft( I,left( SAC ight) ight)=IH=d$Diện tích thiết diện $S_td=S_Delta ABC=frac12SM.AC=frac12sqrtSI^2+IM^2.2sqrtAI^2-IM^2$ $=sqrtr^2-frach^2d^2h^2-d^2.sqrth^2+frach^2d^2h^2-d^2$ |  |
4.1.3. Dạng 3. Câu hỏi hình nón ngoại tiếp với nội tiếp hình chóp
Nội dung | Hình vẽ |
Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ hồ hết là hình nón bao gồm đỉnh là $S$, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$. Khi kia hình nón có: Bán kính lòng $r=IM=fracAB2$ Đường cao $h=SI$, đường sinh $l=SM$ | Hình chóp tứ giác đều S.ABCD  |
Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ hồ hết là hình nón có đỉnh là $S$, lòng là con đường tròn nước ngoài tiếp hình vuông $ABCD$. Khi kia hình nón có: Bán kính đáy: $r=IA=fracAC2=fracABsqrt22$ Chiều cao: $h=SI$ Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tứ giác đều S.ABCD  |
Hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC$ đông đảo là hình nón có đỉnh là $S$, lòng là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ Khi kia hình nón có Bán kính đáy: $r=IM=fracAM3=fracABsqrt36$ Chiều cao: $h=SI$Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tam giác đều $S.ABC$  |
Hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đa số là hình nón tất cả đỉnh là $S$, lòng là con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$ Khi kia hình nón có: Bán kính đáy: $r=IA=frac2AM3=fracABsqrt33$ Chiều cao: $h=SI$Đường sinh: $l=SA$ | Hình chóp tam giác đều $S.ABC$  |
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi giảm hình nón vì chưng một mặt phẳng song song với lòng thì phần mặt phẳng phía trong hình nón là 1 trong hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai khía cạnh phẳng nói bên trên được gọi là hình nón cụt.
Nội dung | Hình vẽ |
Khi cắt hình nón cụt vị một khía cạnh phẳng tuy nhiên song với đáy thì được mặt cắt là một trong hình tròn. |  |
Khi giảm hình nón cụt do một phương diện phẳng tuy vậy song cùng với trục thì được khía cạnh cắt là một hình thang cân. |  |
Cho hình nón cụt gồm $R, r, h$ lần lượt là nửa đường kính đáy lớn, nửa đường kính đáy nhỏ tuổi và chiều cao. Diện tích bao bọc của hình nón cụt: $S_xq=pi lleft( R+r ight)$ Diện tích đáy (hình tròn): $S$đáy 1$=pi r^2$; $S$đáy 2$=pi r^2$$Rightarrow sumlimits_^S$đáy$=pi left( r^2+R^2 ight)$ Diện tích toàn phần của hình nón cụt: $S_tp=pi lambda left( R+r ight)+pi r^2+pi R^2$ Thể tích khối nón cụt: $V=frac13pi hleft( R^2+r^2+Rr ight)$ |  |
4.1.5. Dạng 5. Việc hình nón tạo vị phần còn lại của hình trụ sau lúc cắt vứt đi hình quạt
Nội dung | Hình vẽ |
Từ hình tròn $left( O;R ight)$ cắt loại bỏ hình quạt $AmB.$ Độ lâu năm cung $oversetfrownAnB$ bởi $x.$ Phần còn lại của hình tròn trụ ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. Hình nón được chế tạo ra thành có $left{ eginarrayll = R\2pi r = x Rightarrow r = frac2pi x\h = sqrt l^2 - r^2endarray ight.$ |  |
4.2. Một số dạng toán và cách làm giải vấn đề mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Tiết diện của hình tròn cắt vì chưng một khía cạnh phẳng
Nội dung | Hình vẽ |
Thiết diện vuông góc trục là một con đường tròn nửa đường kính $R$ Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật $ABCD$ trong đó $AB=2R$ và $AD=h$. Giả dụ thiết diện qua trục là một hình vuông vắn thì $h=2R$. Thiết diện song tuy nhiên với trục và không chứa trục là hình chữ nhật $BGHC$ có khoảng cách tới trục là: $dleft( OO';left( BGHC ight) ight)=OM$ |  |
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện bao gồm 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Nếu như $AB$ và $CD$ là hai tuyến đường kính ngẫu nhiên trên hai đáy của hình tròn thì: $V_ABCD=frac16AB.CD.OO'.sin left( AB,CD ight)$ * Đặc biệt: Nếu $AB$ với $CD$ vuông góc nhau thì: $V_ABCD=frac16AB.CD.OO'$ |  |
4.2.3. Dạng 3. Khẳng định góc khoảng chừng cách
Nội dung | Hình vẽ |
Góc thân $AB$ cùng trục $OO'$: $left( widehatAB,OO' ight)=widehatA'AB$ |  |
Khoảng biện pháp giữa $AB$ với trục $OO'$: $dleft( AB;OO' ight)=OM$ |  |
Nếu $ABCD$ là một hình vuông nội tiếp trong hình tròn thì đường chéo cánh của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông: $ABsqrt2=sqrt4R^2+h^2$ |  |
4.2.4. Dạng 4. Xác minh mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần cùng thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu
Nội dung | Hình vẽ |
Một khối trụ có thể tích $V$ ko đổi. Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích s toàn phần nhỏ nhất:$S_tp;min Leftrightarrow left{ eginarraylR = sqrt<3>fracV4pi \h = 2sqrt<3>fracV4pi endarray ight.$ Tìm bán kính đáy và độ cao hình trụ để diện tích s xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ dại nhất:$S_min Leftrightarrow left{ eginarraylR = sqrt<3>fracVpi \h = sqrt<3>fracVpi endarray ight.$ |  |
4.2.5. Dạng 5. Hình tròn ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp vào một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là $V$ thì thể tích khối trụ là $V_left( T ight)=frac4pi V9$
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu $ABCD.A'B'C'D'$ ngoại tiếp vào một hình trụ. Diện tích s xung quanh hình trụ là $S_xq$ thì diện tích s xung quanh của hình lăng trụ là $S_aq=frac2Spi $
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm bên trên trục của nhiều giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm bên trên đường trung trực thì cách đều nhị đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều nhị đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Trung ương và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Tốt nói cách khác, nó chính là giao điểm $I$ của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh mặt hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ $I$ đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định trung khu và bán kính mặt cầu của một số hình nhiều diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung | Hình vẽ |
Tâm: trùng với vai trung phong đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) $Rightarrow $ trung tâm là $I$, là trung điểm của $AC'$. Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). $Rightarrow $Bán kính: $R=fracAC'2$ |  |
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung | Hình vẽ |
Xét hình lăng trụ đứng $A_1A_2A_3...A_n.A_1^'A_2^'A_3^'...A_n^'$, trong đó có 2 đáy $A_1A_2A_3...A_n$ và $A_1^'A_2^'A_3^'...A_n^'$nội tiếp đường tròn $left( O ight)$ và $left( O' ight)$. Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: $I$ với $I'$ là trung điểm của $OO'$.Bán kính: $R=IA_1=IA_2=...=IA_n^'$ |  |
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung | Hình vẽ |
Hình chóp $S.ABC$ có $widehatSAC=widehatSBC=90^0$. Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$.Bán kính: $R=fracSC2=IA=IB=IC$Hình chóp $S.ABCD$ có $widehatSAC=widehatSBC=widehatSDC=90^0$. Tâm: $I$ là trung điểm của$SC$. Bán kính: $R=fracSC2=IA=IB=IC=ID$ |  |
5.1.3.4. Hình chóp đều
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp đều $S.ABC...$ Gọi $O$ là trung tâm của đáy$Rightarrow SO$ là trục của đáy.Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $mpleft( SAO ight)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ là $Delta $ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SO$ tại $IRightarrow I$ là trọng điểm của mặt cầu.Bán kính: Ta có: $Delta SMIacksim Delta SOARightarrow fracSMSO=fracSISARightarrow $ Bán kính: $R=IS=fracSM.SASO=fracSA^22SO=IA=IB=IC=...$ |  |
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.ABC...$ có cạnh bên $SAot left( ABC... ight)$ và đáy $ABC...$ nội tiếp được vào đường tròn trung tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC...$được xác định như sau: Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mpleft( ABC... ight)$ tại $O$.Trong $mpleft( d,SA ight)$, ta dựng đường trung trực $Delta $ của cạnh $SA$, cắt$SA$ tại $M$, cắt $d$ tại $IRightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính$R=IA=IB=IC=IS=...$ Tìm bán kínhTa có: $MIOB$là hình chữ nhật. Xét $Delta MAI$ vuông tại $M$ có: $R=AI=sqrtMI^2+MA^2=sqrtAO^2+left( fracSA2 ight)^2$ | 
|
5.1.3.6. Hình chóp khác
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định chổ chính giữa mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại chổ chính giữa O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Vì đó, việc xác định trọng tâm ngoại O là yếu tố rất quan lại trọng của bài toán.
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.A_1A_2...A_n$ (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để khẳng định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta tiến hành theo nhị bước: Bước 1:Xác định tâm của đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác đáy. Dựng $Delta $: trục đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác đáy. Bước 2:Lập phương diện phẳng trung trực $left( alpha ight)$ của một cạnh bên. Lúc đó Tâm $O$ của phương diện cầu: $Delta cap mpleft( alpha ight)=left O ight$ phân phối kính: $R=SAleft( =SO ight).$ Tuỳ vào từng trường hợp. |  |
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục mặt đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy
Nội dung | Hình vẽ |
Định nghĩa Trục mặt đường tròn ngoại tiếp nhiều giác lòng là mặt đường thẳng đi qua tâm đường tròn nước ngoài tiếp đáy cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất $forall Min Delta : MA=MB=MC$ Suy ra: $MA=MB=MCLeftrightarrow Min Delta $ Các bước xác định trục Bước 1:Xác định trọng điểm $H$ của con đường tròn nước ngoài tiếp đa giác đáy. Bước 2:Qua $H$ dựng $Delta $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Một số trường hợp quánh biệt Đáy là tam giác vuôngĐáy là tam giác đềuĐáy là tam giác thường |     |
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung | Hình vẽ |
$Delta SMO$ đồng dạng với $Delta SIARightarrow fracSOSA=fracSMSI$ |  |
5.3.3. Dìm xét quan lại trọng
$exists M,S:;left{ eginarraylMA = MB = MC\SA = SB = SCendarray ight. Rightarrow SM$ là trục con đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$.
5.4. Kỹ thuật áp dụng hai trục xác minh tâm mặt ước ngoại tiếp đa diện
Nội dung | Hình vẽ |
Cho hình chóp $S.A_1A_2A_3...A_n$ (thõa mãn điều kiện tồn trên mặt mong ngoại tiếp). Thông thường, để xác minh mặt ước ngoại tiếp hình chóp ta tiến hành theo hai bước: Bước 1:Xác định chổ chính giữa của mặt đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác đáy. Dựng $Delta $: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2:Xác định trục $d$ của mặt đường tròn ngoại tiếp một mặt mặt (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó: Tâm $I$ của phương diện cầu: $Delta cap d=left I ight$ Bk: $R=IAleft( =IS ight)$. Tuỳ vào từng trường hợp. |  |
5.5. Tổng kết các dạng tìm trung tâm và nửa đường kính mặt cầu
5.5.1. Dạng 1
Nội dung | Hình vẽ |
Cạnh mặt SAvuông góc đáy cùng $widehatABC=90^0$ khi ấy $R=fracSC2$ và trọng tâm là trung điểm $SC$. |  |
5.5.2. Dạng 2
Nội dung | Hình vẽ |
Cạnh mặt $SA$ vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ việc tìm được nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp của đáy là $R_D$, khi ấy : $R^2=R_D^2+fracSA^24$ $R_D=fracabc4sqrtpleft( p-a ight)left( p-b ight)left( p-c ight)$ ($p$: nửa chu vi).Nếu $Delta ABC$ vuông tại $A$ thì: $R_D=frac14left( AB^2+AC^2+AS^2 ight)$ Đáy là hình vuông vắn cạnh $a$ thì $R_d=fracasqrt22$ nếu đáy là tam giác phần nhiều cạnh $a$ thì $R_D=fracasqrt33$ |  |
5.5.3. Dạng 3
Nội dung | Hình vẽ |
Chóp có các bên cạnh bằng nhau: $SA=SB=SC=SD$ : $R=fracSA^22SO$ $ABCD$ là hình vuông, hình chữ nhật, lúc đó $O$ là giao hai đường chéo.$Delta ABC$ vuông, khi đó $O$ là trung điểm cạnh huyền.$Delta ABC$ đều, khi ấy $O$ là trọng tâm, trực tâm. |  |
5.5.4. Dạng 4
Nội dung | Hình vẽ |
Hai khía cạnh phẳng $left( SAB ight)$ với $left( ABC ight)$ vuông góc với nhau và gồm giao tuyến đường $AB$. Khi ấy ta điện thoại tư vấn $R_1,R_2$ lần lượt là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp các tam giác $SAB$ và $ABC$. Nửa đường kính mặt ước ngoại tiếp: $R^2=R_1^2+R_2^2-fracAB^24$ |  |
5.5.5. Dạng 5
Chóp $S.ABCD$ tất cả đường cao $SH$, trọng tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là $O$. Lúc ấy ta giải phương trình: $left( SH-x ight)^2+OH^2=x^2+R_D^2$ . Với mức giá trị $x$ tìm được ta có: $R^2=x^2+R_D^2$
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: $r=frac3VS_tp$
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY
6.1. Chỏm cầu
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_xq = 2pi Rh = pi left( r^2 + h^2 ight)\V = pi h^2left( R - frach3 ight) = fracpi h6left( h^2 + 3r^2 ight)endarray ight.$ |  |
6.2. Hình trụ cụt
Nội dung | Hình vẽ |
$left{ eginarraylS_xa = pi rleft( h_1 + h_2 ight)\V = pi R^2left( frach_1 + h_22 ight)endarray ight.$ |  |
6.3. Hình nêm loại 1
Nội dung | Hình vẽ |
$V=frac23R^3 an alpha $ |  |
6.4. Hình nêm một số loại 2
Nội dung | Hình vẽ |
$V=left( fracpi 2-frac23 ight)R^3 an alpha $ |  |
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_parabol = frac43Rh;;fracS'S = left( sqrt fracxh ight)^3 = left( fracar ight)^3\v = frac12pi R^2h = frac12V_truendarray ight.$ |  |
6.6. Diện tích Elip cùng Thể tích khối tròn luân chuyển sinh vị Elip
Nội dung | Hình vẽ |
| $left{ eginarraylS_elip = pi ab\V_xoay;quanh;2a = frac43pi ab^2\V_xoay;quanh;2b = frac43pi a^2bendarray ight.$ |  |
6.7. Diện tích s hình vành khăn
Nội dung | Hình vẽ |
$S=pi left( R^2-r^2 ight)$ |
|
6.8. Thể tích hình xuyến (phao)
Nội dung | Hình vẽ |
$V=2pi ^2left( fracR+r2 ight)left( fracR-r2 ight)^2$ |