bài giảng Toán thời thượng 1 Toán thời thượng 1 dạng đại số của số phức dạng lượng giác của số phức Dạng nón của số phức Nâng số phức lên lũy thừa Khai số phận phức
Chương 0 Số phức--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Dạng đại số của số phức0.2 – Dạng lượng giác của số phức0.3 – Dạng mũ của số phức0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa0.5 – Khai số phận phức0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 0.1 Dạng đại số của số phức-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Không tồn tại một trong những thực nào mà bình phương của nó là mộtsố âm. Hay, ko tồn tại số thực x làm sao cho x2 = -1.Ở nắm kỷ vật dụng 17, fan ta định nghĩa một số ảo.Bình phương của một số ảo là một vài âm. Cam kết tự i được chọnđể cam kết hiệu một vài mà bình phương của nó bởi –1.Định nghĩa số iSố i, được hotline là đơn vị ảo, là một trong những sao choi2 = -1 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa số phứcCho a và b là nhì số thực với i là đơn vị ảo, khi đóz = a + bi được điện thoại tư vấn là số phức. Số thực a được gọi làphần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z.Phần thực của số phức z = a + bi được ký kết hiệu là Re(z).Phần ảo của số phức z = a + bi được cam kết hiệu là Im(z).Tập số thực là tập hợp nhỏ của tập số phức, bởi vì nếu chob = 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số trong những phức. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Tất cả những số có dạng 0 + bi, cùng với b là một vài thực kháckhông được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là số đông sốthuần ảo.Số phức ghi nghỉ ngơi dạng z = a + bi được điện thoại tư vấn là dạng đại sốcủa số phức z. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa sự bởi nhauHai số phức được điện thoại tư vấn là đều nhau nếu chúng gồm phần thực vàphần ảo khớp ứng bằng nhau.Nói phương pháp khác, nhị số phức z1 = a1 + ib1 với z2 = a2 +ib2 bằngnhau khi và chỉ khi a1 = a2 với b1 = b2.Ví dụCho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i.Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2.Giải2 mz1 z2 2 3i m 3i m 2 3 3 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa phép cùng và phép trừ của nhì số phức.Cho a + bi và c + di là nhị số phức, khi đóPhép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) iPhép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) iVí dụTìm phần thực cùng phần ảo của số phứcz = (3 + 5i) + (2 - 3i).Giảiz = (3 + 5i) + (2 - 3i) = (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. Re(z ) 5; Im(z ) 2. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa phép nhân hai số phức.Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đóz1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)iVí dụTìm dạng đại số của số phứcz = (2 + 5i).(3+ 2i)Giảiz = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i= 6 + 4i + 15i + 10 i2 = 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19iVậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Cộng, trừ, nhân hai số phức:Khi cùng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực vàphần ảo tương ứng.Nhân nhì số phức, ta thực hiện giống như nhân nhì biểuthức đại số với chú ý i2 = −1. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Định nghĩa số phức liên hợpSố phức z a biphức z = a + bi.được điện thoại tư vấn là số phức phối hợp của sốVí dụ.Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i).Giải.z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i.Vậy số phức liên hợp là z 14 8i. 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Tính hóa học của số phức liên hợpCho z và w là nhì số phức; z vàtương ứng. Khi đó:1. Z z là một số trong những thực.wlà nhị số phức liên hợp2. Z z là một trong những thực.3. Z z khi và chỉ còn khi z là một số thực.4. Z w z w5. Z w z w6. Z z7. Z n ( z ) n với tất cả số tự nhiên và thoải mái n 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Phép chia hai số phức.z1 a1 ib1z2 a2 ib2z1 (a1 ib1 )(a2 ib2 )z2 (a2 ib2 )( a2 ib2 )z1 a1a2 b1b2b1a2 a2b1 2i 2 22z2a2 b2a2 b2Muốn phân tách số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu mang lại số phức liênhợp của mẫu. (Giả sử z2 0 ) 0.1 Dạng Đại số của số phức-----------------------------------------------------------------Ví dụ.Thực hiện nay phép toán3 2i5 iGiải.3 2i (3 2i )(5 i )5 i(5 i )(5 i )Nhân tử với mẫu mang lại sốphức phối hợp của chủng loại là5 + i.15 3i 10i 2i 225 113 13i 1 1 i262 2Viết ở dạng Đại số 0.1 Dạng Đại số của số phức------------------------------------------------------------------Lưu ý: đối chiếu với số phức.Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói mộtcách khác, không thể đối chiếu hai số phức z1 = a1 + ib1 vàz2= a2 + ib2 như trong trường số thực. Biểu thức z1 0, mang đến n là số từ nhiên. Khi đón r n (cos n i sin n ) 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa----------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. áp dụng công thức de Moivre’s, tính:a)c)(1 + i)25b)( 1 i 3) 200( 3 i)17( 122i)20Giải.a) bước 1. Viết 1 + i sinh sống dạng lượng giácz 1 i 2 (cos i sin )44Bước 2. áp dụng công thức de Moivre’s: 2525252525z < 2 (cos i sin )> ( 2 ) (cos i sin)44442512z22(cosisin)Bước 3. Đơn giản4 4 0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩa căn bậc n của số phứcCăn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z,trong đó n là số tự nhiên.z a bi r (cos i sin )2k 2knnnzr(cosisin)zr(cosisin)kn nvới k = 0, 1, 2, …, n – 1.Căn bậc n của số phức z gồm đúng n nghiệm phân biệt. 0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. Tìm kiếm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệmlên xung quanh phẳng phức.16i483c)b) 3 ia) 81 id) 61i3 ie) 5 12if)1 2iGiải câu a)b) Viết số phức ở dạng lượng giác:8 8(cos 0 i sin 0)Sử dụng công thức:3 8(cos 0 i sin 0) z 2(cos 0 2k i sin 0 2k )k3k 0,1, 2.3 0.4 Khai căn số phức----------------------------------------------------------------------------------------------------Giải câu b)b) Viết số phức làm việc dạng lượng giác:3 i 2(cos i sin )66Sử dụng công thức: 2 k 2 k64 2(cos i sin ) z 4 2(cos 6isin)k6644k 0,1, 2,3. z1 z0 z2 z3 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nhà bác bỏ học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855)chứng minh rằng hầu như đa thức có tối thiểu một nghiệm.Số nghiệm của một đa thứcĐa thức P(z) bậc n bao gồm đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý cơ bạn dạng của Đại số cho thấy được số nghiệm củaphương trình mà không chỉ là cách tìm các nghiệm kia như thếnào.Nếu đa thức với thông số thực, chúng ta có một hệ quả khôn cùng quantrọng sau đâyHệ quảNếu a + bi là 1 trong nghiệm phức của đa thức P(z) cùng với hệ sốthực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. 0.5 Định lý cơ bạn dạng của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ(sử dụng hệ trái của định lý cơ bản)1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực thừa nhận z1 = 3i với z2 = 2+ilàm nghiệm.2) Tìm đa thức bậc 4 với thông số thực dìm z1 = 3i cùng z2 = 2+ilàm nghiệm.1) ko tồn tại nhiều thức thỏa yêu cầu bài toán.2) Đa thức yêu cầu tìm là:P (z ) (z z1)(z z1)(z z2)(z z2)P (z ) (z 3i )(z 3i )(z (2 i ))(z (2 i ))P (z ) (z 2 9)(z 2 4z 5) 0.5 Định lý cơ phiên bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)Tìm tất cả các nghiệm của P( z ) z 4 4 z 3 14 z 2 36 z 45biết 2 + i là một trong nghiệm.Giải. Cũng chính vì đa thức với hệ số thực với 2 + i là một nghiệm,theo hệ trái ta tất cả 2 –i là 1 trong nghiệm.P(z) hoàn toàn có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) == z2 – 4z + 5P(z) rất có thể ghi sinh sống dạngP(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)z2 + 9 có hai nghiệm 3i cùng –3i. Vậy ta tìm được cả 4nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. 0.5 Định lý cơ bạn dạng của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụGiải phương trình sau trong C.z 9 i 0z 9 i z 9 i z 9 cos i sin22 k 2 k 2 zk cos 2 i sin 299k 0,1,...,8. 0.5 Định lý cơ phiên bản của Đại số--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. Giải các phương trình sau vào C.a)z 5 1 i 0b) z 2 z 1 0c) z 4 z 2 2 0d) z 2 2 z 1 i 0Giải. Giải phương trìnhBước 1. TínhBước 2. TìmBước 3.az 2 bz c 0 b 2 4ac2b4ac1,2bb12z;z12a2 2a Kết luận--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Dạng Đại số của số phứcz a bi2. Dạng Lượng giác của số phứcz r (cos i sin )3. Nâng lên lũy thừaz n n r n (cos n i sin n )4. Căn bậc n của số phức2k2knn nzr(cosisin)zr(coisi)kn nk 1,2,3,..., n 1.
