Đại số tuyến tính là một trong những nhánh quan trọng của toán học. Đại số tuyến tính về cơ bản là nghiên cứu về vectơ và các hàm tuyến tính. Nó là một khái niệm then chốt cho hầu hết các lĩnh vực toán học. Đại số tuyến tính được coi là một khái niệm cơ bản trong cách trình bày hiện đại của hình học. Nó chủ yếu được sử dụng trong Vật lý và Kỹ thuật vì nó giúp xác định các đối tượng cơ bản như mặt phẳng, đường thẳng và chuyển động quay của đối tượng. Nó cho phép chúng ta mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên, và nó cũng có hiệu quả tính toán. Trong bài này, bạn sẽ tìm hiểu về phần giới thiệu cơ bản, các thành phần, các bài toán, phương trình tuyến tính và các ứng dụng của nó .
Bạn đang xem: Đại số tuyến tính là gì
Giới thiệu về Đại số tuyến tính
Đại số tuyến tính là nghiên cứu của các tổ hợp tuyến tính. Nó là nghiên cứu về không gian vectơ, đường thẳng và mặt phẳng, và một số ánh xạ được yêu cầu để thực hiện các phép biến đổi tuyến tính. Nó bao gồm vectơ, ma trận và các hàm tuyến tính. Nó là nghiên cứu của các tập hợp tuyến tính của phương trình và các tính chất biến đổi của nó.
Phương trình đại số tuyến tính
Phương trình tuyến tính tổng quát được biểu diễn dưới dạng
a 1 x 1 + a 2 x 2 ………. + a n x n = b
Đây,
a’s – đại diện cho các hệ số
x’s – đại diện cho các ẩn số
b – đại diện cho hằng số
Tồn tại một hệ phương trình đại số tuyến tính, đó là tập hợp các phương trình. Hệ phương trình có thể được giải bằng cách sử dụng các ma trận.
Nó tuân theo hàm tuyến tính chẳng hạn như
(x 1 , …… ..x n ) → a 1 x 1 + ………. + a n x n
Chủ đề Đại số tuyến tính
Các chủ đề quan trọng nhất được đề cập trong đại số tuyến tính bao gồm:
Không gian vectơ EuclidVectơ riêngMa trận trực giaoCác phép biến đổi tuyến tínhCác phép chiếuGiải hệ phương trình với ma trậnCác phép toán với ma trận (tức là cộng, nhân)Các nghịch đảo của ma trận và các yếu tố quyết địnhMa trận xác định dươngPhân rã giá trị đơn lẻSự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lậpỞ đây, ba khái niệm chính là tiền đề của đại số tuyến tính được giải thích chi tiết. Họ đang:
Không gian vectơHàm tuyến tínhMa trậnTất cả ba khái niệm này có mối quan hệ với nhau sao cho một hệ phương trình tuyến tính có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các khái niệm này một cách toán học. Nói chung, vectơ là các phần tử mà chúng ta có thể thêm vào, và các hàm tuyến tính là các hàm của vectơ bao gồm việc cộng các vectơ
Không gian vector
Như chúng ta biết rằng đại số tuyến tính đề cập đến việc nghiên cứu các không gian vectơ và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Theo định nghĩa của vectơ, nó là một đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng. Không gian vectơ được định nghĩa là tập hợp các đối tượng được gọi là vectơ, có thể được cộng lại với nhau và nhân (tức là được chia tỷ lệ) với các số, được gọi là vô hướng. Nói chung, các số thực được coi là số vô hướng, nhưng tồn tại không gian vectơ với phép nhân vô hướng với các số không thực, tức là số phức, hoặc tự nhiên bất kỳ trường nào.
Các phép toán như cộng vectơ và nhân vô hướng phải thỏa mãn các yêu cầu cụ thể, được gọi là tiên đề vectơ. Nói chung, các thuật ngữ không gian vectơ thực và không gian vectơ phức được sử dụng để định nghĩa rằng các vô hướng lần lượt là số thực hoặc số phức .
Giả sử V là không gian vectơ bất kỳ có các phần tử a, b, c và vô hướng m, n trên một trường F, khi đó tiên đề vectơ được cho bởi:
Giao hoán của phép cộng: a + b = b + aTính liên kết của phép cộng: a + (b + c) = (a + b) + cNhận dạng cộng: a + 0 = 0 + a = a, trong đó 0 là một phần tử trong V được gọi là vectơ không.Phép cộng nghịch đảo: a + (-a) + (-a) + a = 0, a, -a thuộc V.Bốn tiên đề này xác định rằng không gian vectơ V là một nhóm abel trong phép cộng.
Các tiên đề khác bao gồm phân phối của phép nhân vô hướng đối với phép cộng vectơ và phép cộng trường, yếu tố nhận dạng của phép nhân vô hướng, v.v.
Ví dụ, m (a) = ma; n (a + b) = na + nb
Một phần tử của không gian vectơ cụ thể có thể có các đặc điểm khác nhau. Ví dụ, các phần tử có thể là một dãy, một hàm, một đa thức hoặc một ma trận. Đại số tuyến tính bị ảnh hưởng bởi những tính chất của những thứ đó phổ biến hoặc quen thuộc với tất cả các không gian vectơ.
Một ánh xạ tuyến tính có thể được viết cho hai không gian vectơ nhất định là V và W trên một trường F. Điều này đôi khi được gọi là phép biến đổi tuyến tính hoặc ánh xạ của không gian vectơ. Do đó, nó được đưa ra bởi:
T: V → W
Điều này cho phép chúng ta viết phép cộng vô hướng của các phần tử như:
T (a + b) = T (a) + T (b)
T (ma) = mT (a)
Hàm tuyến tính
Hàm tuyến tính là một phương trình đại số trong đó mỗi số hạng là một hằng số hoặc tích của một hằng số và một biến độc lập duy nhất của lũy thừa 1. Trong đại số tuyến tính, vectơ được lấy trong khi tạo thành các hàm tuyến tính. Một số ví dụ về các loại vectơ có thể được diễn đạt lại về hàm của vectơ.
Về mặt toán học, hàm tuyến tính được định nghĩa là:
Một hàm L: R n → R m là tuyến tính nếu
(i) L (x + y) = L (x) + L (y)
(ii) L (αx) = αL (x)
với mọi x, y ∈ R n , α ∈ R
Ví dụ: Chứng tỏ rằng hàm L: R 2 → R 3 cho bởiL ( x ) =⎡⎣⎢x1+ 4x23x1–x2x2⎤⎦⎥ là tuyến tính.
Giải pháp:
Với x, y ∈ R 2 bất kỳ , ta có
Đại số tuyến tínhVới x ∈ R 2 và α ∈ R bất kỳ , ta có
Do đó, L là một hàm tuyến tính.
Ma trận đại số tuyến tính
Về mặt toán học, mối quan hệ này có thể được định nghĩa như sau.
A là một ma trận m × n, sau đó chúng ta nhận được một hàm tuyến tính L: R n → R m bằng cách xác định
L (x) = Ax
hoặc là
Ax = B
Xem qua ví dụ được đưa ra bên dưới để hiểu chi tiết về ánh xạ này.
Câu hỏi:
Một căn phòng chứa x túi và y hộp quả, mỗi túi chứa 2 quả táo và 4 quả chuối và mỗi hộp có 6 quả táo và 8 quả chuối. Có tổng cộng 20 quả táo và 28 quả chuối trong phòng. Tìm giá trị của x và y.
Giải pháp :
Viết phương trình đồng thời để thông tin đã cho mà điều kiện trên trở thành đúng.
2x + 6y = 20
4x + 8y = 28
Ở đây, ví dụ đưa ra ở trên cho thấy hệ thống phương trình tuyến tính.
Bây giờ, viết phương trình trên dưới dạng đẳng thức giữa 2 vectơ và sử dụng các quy tắc, chúng ta nhận được
(2 x + 6 y4 x + 8 y) = (2028) x (24) +và(6số 8) = (2028)Chúng ta biểu thị các hàm dưới dạng một mảng số được gọi là ma trận.
Do đó, hàm (246số 8) được định nghĩa bởi
(246số 8) (xY) =x (24) +và(6số 8)
Đại số tuyến tính số
Đại số tuyến tính số còn được gọi là đại số tuyến tính ứng dụng. Đại số tuyến tính ứng dụng đề cập đến việc nghiên cứu cách các phép toán ma trận có thể được sử dụng để tạo ra các thuật toán máy tính, giúp giải quyết các vấn đề trong toán học liên tục với hiệu quả và độ chính xác. Trong đại số tuyến tính số, nhiều phương pháp phân rã ma trận được sử dụng để tìm lời giải cho các bài toán đại số tuyến tính phổ biến như tối ưu hóa bình phương nhỏ nhất, định vị giá trị Eigen và giải hệ phương trình tuyến tính. Một số phương pháp phân rã ma trận trong đại số tuyến tính số bao gồm phân rã Eigen, phân rã giá trị đơn, phân tích nhân tử QR, v.v.
Ứng dụng Đại số tuyến tính
Ở đây, một số ứng dụng của đại số tuyến tính được đưa ra như:
Xếp hạng trong Công cụ Tìm kiếm – Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đại số tuyến tính là trong việc tạo ra Google. Thuật toán xếp hạng phức tạp nhất được tạo ra với sự trợ giúp của đại số tuyến tính.Phân tích tín hiệu – Nó được sử dụng rộng rãi trong việc mã hóa, phân tích và thao tác các tín hiệu có thể là âm thanh, video hoặc hình ảnh, v.v.Lập trình tuyến tính – Tối ưu hóa là một ứng dụng quan trọng của đại số tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực lập trình tuyến tính.Mã sửa lỗi – Nó được sử dụng trong lý thuyết mã hóa. Nếu dữ liệu được mã hóa bị can thiệp một chút và với sự trợ giúp của đại số tuyến tính, nó sẽ được khôi phục. Một mã sửa lỗi quan trọng như vậy được gọi là mã hammingDự đoán – Dự đoán của một số đối tượng nên được tìm thấy bằng cách sử dụng các mô hình tuyến tính được phát triển bằng cách sử dụng đại số tuyến tính.Nhận dạng khuôn mặt- Một công nghệ nhận dạng khuôn mặt tự động sử dụng biểu thức đại số tuyến tính được gọi là phân tích thành phần chính.Đồ họa- Một phần quan trọng của đồ họa là chiếu cảnh 3 chiều trên màn hình 2 chiều chỉ được xử lý bởi các bản đồ tuyến tính được giải thích bằng đại số tuyến tính.Bài toán đại số tuyến tính
Các bài toán đại số tuyến tính bao gồm ma trận, không gian, vectơ, định thức và hệ thống các khái niệm phương trình tuyến tính. Bây giờ, chúng ta hãy thảo luận về cách giải các bài toán đại số tuyến tính.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị của x, y và z để hệ phương trình tuyến tính đã cho.
2x + y – z = 8
-3x – y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
Giải pháp:
Được,
2x + y – z = 8
-3x – y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
Ma trận có dạng,
AX = B,
Đây , A =⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122⎤⎦⎥ x =⎡⎣⎢xYvới⎤⎦⎥ B =⎡⎣⎢số 8– 11– 3⎤⎦⎥
Sau khi thực hiện thao tác hàng cơ bản và ma trận tăng cường, nó được giảm xuống dạng
A ⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122số 8– 11– 3⎤⎦⎥
Bây giờ, dạng cấp bậc rút gọn của ma trận trên là,
A ⎡⎣⎢10001000123– 1⎤⎦⎥
Do đó, giải pháp duy nhất cho việc này là,
x = 2
y = 3
z = -1
Ví dụ 2:
Tìm giá trị của x, cho rằng ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣
Giải pháp:
Cho rằng: ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣
Do đó, định thức trên có thể được coi là:
3 – x 2 = 3 – 8
3 – x 2 = -5
-x 2 = -5-3
-x 2 = -8,
Bây giờ, nhân cả hai vế với -1, chúng ta nhận được
x 2 = 8
x = ± 2 √ 2
Do đó, giá trị của x là ± 2 √ 2.
Xem thêm: Đội Tuyển Bóng Rổ Nam Quốc Gia Bờ Biển Ngà, Đội Tuyển Bóng Đá Quốc Gia Bờ Biển Ngà