Đại số tuyến tính là trong những nhánh đặc biệt của toán học. Đại số tuyến tính về cơ phiên bản là nghiên cứu về vectơ và những hàm con đường tính. Nó là 1 trong những khái niệm chủ quản cho hầu như các nghành nghề toán học. Đại số con đường tính được coi là một định nghĩa cơ bản trong giải pháp trình bày tiến bộ của hình học. Nó đa số được sử dụng trong đồ dùng lý và Kỹ thuật vày nó giúp khẳng định các đối tượng cơ bạn dạng như khía cạnh phẳng, con đường thẳng và hoạt động quay của đối tượng. Nó mang đến phép họ mô hình hóa nhiều hiện tượng kỳ lạ tự nhiên, với nó cũng có hiệu quả tính toán. Trong bài này, các bạn sẽ tìm đọc về phần giới thiệu cơ bản, các thành phần, những bài toán, phương trình tuyến tính và những ứng dụng của nó .

Bạn đang xem: Đại số tuyến tính là gì

Giới thiệu về Đại số con đường tính

Đại số đường tính là nghiên cứu của các tổ hợp tuyến đường tính. Nó là nghiên cứu về không gian vectơ, mặt đường thẳng với mặt phẳng, và một số trong những ánh xạ được yêu cầu để thực hiện các phép thay đổi tuyến tính. Nó bao gồm vectơ, ma trận và những hàm đường tính. Nó là nghiên cứu và phân tích của các tập hợp đường tính của phương trình và những tính chất thay đổi của nó.

Phương trình đại số con đường tính

Phương trình tuyến tính tổng quát được màn trình diễn dưới dạng

a 1 x 1 + a 2 x 2 ………. + a n x n = b

Đây,

a’s – đại diện cho những hệ số

x’s – thay mặt cho những ẩn số

b – thay mặt đại diện cho hằng số

Tồn tại một hệ phương trình đại số tuyến đường tính, đó là tập hợp những phương trình. Hệ phương trình rất có thể được giải bằng phương pháp sử dụng các ma trận.

Nó theo đúng hàm con đường tính ví dụ điển hình như

(x 1 , …… ..x n ) → a 1 x 1 + ………. + a n x n

Chủ đề Đại số tuyến tính

Các chủ đề đặc biệt quan trọng nhất được nhắc trong đại số đường tính bao gồm:

Không gian vectơ EuclidVectơ riêngMa trận trực giaoCác phép biến hóa tuyến tínhCác phép chiếuGiải hệ phương trình với ma trậnCác phép toán với ma trận (tức là cộng, nhân)Các nghịch đảo của ma trận và những yếu tố quyết địnhMa trận xác minh dươngPhân rã giá chỉ trị đơn lẻSự dựa vào tuyến tính và tính độc lập

Ở đây, ba khái niệm đó là tiền đề của đại số con đường tính được giải thích chi tiết. Họ đang:

Không gian vectơHàm tuyến tínhMa trận

Tất cả tía khái niệm này còn có mối quan hệ giới tính với nhau sao cho một hệ phương trình con đường tính có thể được biểu diễn bằng phương pháp sử dụng những khái niệm này một phương pháp toán học. Nói chung, vectơ là các phần tử mà bạn cũng có thể thêm vào, và các hàm tuyến đường tính là những hàm của vectơ bao gồm việc cộng các vectơ

Không gian vector

Như chúng ta biết rằng đại số tuyến đường tính đề cập mang đến việc nghiên cứu và phân tích các không khí vectơ và các phép biến đổi tuyến tính thân chúng. Theo tư tưởng của vectơ, nó là một trong những đại lượng đồ lý gồm cả độ lớn và hướng. Không gian vectơ được có mang là tập vừa lòng các đối tượng được gọi là vectơ, hoàn toàn có thể được cùng lại với nhau với nhân (tức là được phân tách tỷ lệ) với những số, được điện thoại tư vấn là vô hướng. Nói chung, các số thực được coi là số vô hướng, cơ mà tồn tại không gian vectơ với phép nhân vô phía với các số ko thực, có nghĩa là số phức, hoặc từ nhiên bất kỳ trường nào.

Các phép toán như cộng vectơ với nhân vô phía phải thỏa mãn nhu cầu các yêu cầu cố kỉnh thể, được call là tiên đề vectơ. Nói chung, những thuật ngữ không khí vectơ thực và không khí vectơ phức được thực hiện để có mang rằng các vô hướng lần lượt là số thực hoặc số phức .

Giả sử V là không gian vectơ bất kỳ có các bộ phận a, b, c với vô phía m, n bên trên một trường F, khi ấy tiên đề vectơ được đến bởi:

Giao hoán của phép cộng: a + b = b + aTính liên kết của phép cộng: a + (b + c) = (a + b) + cNhận dạng cộng: a + 0 = 0 + a = a, trong các số ấy 0 là một phần tử trong V được gọi là vectơ không.Phép cùng nghịch đảo: a + (-a) + (-a) + a = 0, a, -a ở trong V.

Bốn định đề này khẳng định rằng không gian vectơ V là 1 nhóm abel vào phép cộng.

Các tiên đề khác bao hàm phân phối của phép nhân vô hướng đối với phép cộng vectơ và phép cộng trường, yếu tố thừa nhận dạng của phép nhân vô hướng, v.v.

Ví dụ, m (a) = ma; n (a + b) = mãng cầu + nb

Một bộ phận của không gian vectơ nắm thể có thể có các điểm lưu ý khác nhau. Ví dụ, các bộ phận có thể là một trong những dãy, một hàm, một đa thức hoặc một ma trận. Đại số tuyến tính bị tác động bởi rất nhiều tính chất của không ít thứ đó phổ biến hoặc quen thuộc với tất cả các không gian vectơ.

Một ánh xạ con đường tính hoàn toàn có thể được viết cho hai không khí vectơ nhất quyết là V cùng W trên một ngôi trường F. Điều này nhiều khi được điện thoại tư vấn là phép thay đổi tuyến tính hoặc ánh xạ của không gian vectơ. Do đó, nó được chỉ dẫn bởi:

T: V → W

Điều này mang lại phép họ viết phép cùng vô hướng của các bộ phận như:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (ma) = mT (a)

Hàm con đường tính

Hàm con đường tính là một trong những phương trình đại số trong những số ấy mỗi số hạng là một trong những hằng số hoặc tích của một hằng số cùng một biến độc lập duy duy nhất của lũy quá 1. Vào đại số tuyến tính, vectơ được lấy trong lúc tạo thành những hàm đường tính. Một số ví dụ như về những loại vectơ có thể được diễn tả lại về hàm của vectơ.

Về phương diện toán học, hàm đường tính được quan niệm là:

Một hàm L: R n → R m là tuyến tính nếu

(i) L (x + y) = L (x) + L (y)

(ii) L (αx) = αL (x)

với hồ hết x, y ∈ R n , α ∈ R

Ví dụ: Chứng tỏ rằng hàm L: R 2 → R 3 cho bởiL ( x ) =⎡⎣⎢x1+ 4x23x1–x2x2⎤⎦⎥ là đường tính.

Giải pháp:

Với x, y ∈ R 2 bất kỳ , ta có

Đại số con đường tính

Với x ∈ R 2 với α ∈ R bất kỳ , ta có

Do đó, L là một trong những hàm con đường tính.

Ma trận đại số đường tính

Về khía cạnh toán học, mối quan hệ này rất có thể được có mang như sau.

A là 1 trong ma trận m × n, sau đó bọn họ nhận được một hàm con đường tính L: R n → R m bằng phương pháp xác định

L (x) = Ax

hoặc là

Ax = B

Xem qua lấy ví dụ được gửi ra dưới để hiểu cụ thể về ánh xạ này.

Câu hỏi:

Một căn nhà chứa x túi với y vỏ hộp quả, từng túi chứa 2 quả hãng apple và 4 quả chuối và mỗi hộp có 6 quả táo bị cắn dở và 8 trái chuối. Có tổng cộng 20 quả apple và 28 trái chuối vào phòng. Tìm giá trị của x cùng y.

Giải pháp :

Viết phương trình đôi khi để tin tức đã cho mà đk trên phát triển thành đúng.

2x + 6y = 20

4x + 8y = 28

Ở đây, ví dụ chỉ dẫn ở trên cho thấy hệ thống phương trình tuyến đường tính.

Bây giờ, viết phương trình trên dưới dạng đẳng thức giữa 2 vectơ và sử dụng những quy tắc, họ nhận được

(2 x + 6 y4 x + 8 y) = (2028) x (24) +và(6số 8) = (2028)Chúng ta biểu lộ các hàm bên dưới dạng một mảng số được hotline là ma trận.

Do đó, hàm (246số 8) được khái niệm bởi

(246số 8) (xY) =x (24) +và(6số 8)

Đại số đường tính số

Đại số tuyến tính số còn gọi là đại số tuyến đường tính ứng dụng. Đại số đường tính ứng dụng đề cập mang đến việc phân tích cách những phép toán ma trận có thể được thực hiện để tạo thành các thuật toán máy tính, giúp giải quyết và xử lý các vấn đề trong toán học tiếp tục với tác dụng và độ thiết yếu xác. Trong đại số con đường tính số, nhiều phương pháp phân rã ma trận được sử dụng để tìm lời giải cho các bài toán đại số tuyến tính phổ cập như buổi tối ưu hóa bình phương nhỏ nhất, định vị giá trị Eigen cùng giải hệ phương trình tuyến đường tính. Một số phương thức phân rã ma trận vào đại số tuyến tính số bao gồm phân tan Eigen, phân rã cực hiếm đơn, so với nhân tử QR, v.v.

Ứng dụng Đại số đường tính

Ở đây, một vài ứng dụng của đại số con đường tính được đưa ra như:

Xếp hạng trong luật pháp Tìm kiếm – giữa những ứng dụng quan trọng nhất của đại số tuyến đường tính là trong việc tạo ra Google. Thuật toán xếp hạng tinh vi nhất được tạo ra với sự trợ giúp của đại số tuyến tính.Phân tích tín hiệu – Nó được sử dụng rộng rãi trong việc mã hóa, đối chiếu và thao tác làm việc các tín hiệu hoàn toàn có thể là âm thanh, đoạn phim hoặc hình ảnh, v.v.Lập trình tuyến tính – về tối ưu hóa là một ứng dụng đặc biệt quan trọng của đại số tuyến đường tính được sử dụng rộng thoải mái trong nghành lập trình tuyến đường tính.Mã sửa lỗi – Nó được áp dụng trong định hướng mã hóa. Nếu dữ liệu được mã hóa bị can thiệp một chút và với việc trợ góp của đại số tuyến tính, nó sẽ được khôi phục. Một mã sửa lỗi đặc trưng như vậy được điện thoại tư vấn là mã hammingDự đoán – dự kiến của một số đối tượng người dùng nên được tìm thấy bằng cách sử dụng các quy mô tuyến tính được vạc triển bằng phương pháp sử dụng đại số đường tính.Nhận dạng khuôn mặt- Một công nghệ nhận dạng khuôn mặt tự động hóa sử dụng biểu thức đại số đường tính được hotline là phân tích thành phần chính.Đồ họa- Một phần đặc biệt của hình ảnh là chiếu cảnh 3 chiều trên màn hình hiển thị 2 chiều chỉ được xử lý do các bản đồ đường tính được giải thích bằng đại số tuyến đường tính.

Bài toán đại số con đường tính

Các bài toán đại số tuyến tính bao gồm ma trận, không gian, vectơ, định thức và khối hệ thống các định nghĩa phương trình tuyến đường tính. Bây giờ, bọn họ hãy luận bàn về giải pháp giải những bài toán đại số tuyến tính.

Ví dụ 1:

Tìm quý hiếm của x, y với z để hệ phương trình tuyến đường tính đã cho.

2x + y – z = 8

-3x – y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

Giải pháp:

Được,

2x + y – z = 8

-3x – y + 2z = -11

-2x + y + 2z = -3

Ma trận bao gồm dạng,

AX = B,

Đây , A =⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122⎤⎦⎥ x =⎡⎣⎢xYvới⎤⎦⎥ B =⎡⎣⎢số 8– 11– 3⎤⎦⎥

Sau khi thực hiện làm việc hàng cơ bạn dạng và ma trận tăng cường, nó được giảm xuống dạng

A ⎡⎣⎢2– 3– 21– 11– 122số 8– 11– 3⎤⎦⎥

Bây giờ, dạng level rút gọn của ma trận trên là,

A ⎡⎣⎢10001000123– 1⎤⎦⎥

Do đó, chiến thuật duy tuyệt nhất cho việc này là,

x = 2

y = 3

z = -1

Ví dụ 2: 

Tìm quý hiếm của x, mang lại rằng ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣

Giải pháp:

Cho rằng: ∣∣∣3xx1∣∣∣=∣∣∣3421∣∣∣

Do đó, định thức trên có thể được coi là:

3 – x 2 = 3 – 8

3 – x 2 = -5

-x 2 = -5-3

-x 2 = -8,

Bây giờ, nhân cả nhị vế cùng với -1, chúng ta nhận được

x 2 = 8

x = ± 2 √ 2

Do đó, giá trị của x là ± 2 √ 2.

Xem thêm: Đội Tuyển Bóng Rổ Nam Quốc Gia Bờ Biển Ngà, Đội Tuyển Bóng Đá Quốc Gia Bờ Biển Ngà

Các sự việc thực hành về Đại số tuyến tính

Giải cặp phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp thay thế: 7x-15y = 2, x + 2y = 3.Giải phương trình 2x + 3y = 11 cùng 2x-4y = -24. Ngoài ra, hãy xác minh giá trị của “m” nhưng y = mx + 3.Giải các phương trình sau bằng phương pháp thay cố và phương thức khử: 3x + 4y = 10 với 2x – 2y = 2.